Історія чисел
З розвитком мови тісно пов'язана Історія чисел. При цьому назви чисел з'явилися в ранній період історії мови і залишаються протягом століть надзвичайно стабільними (99]. Вважається, що існували й існують кілька систем числення: з основою два (бінарна система), п'ять (квінорнаї, десять (десяткова), двадцять (дводесяткова) і шістдесят (шістдесяткова).
Вибір системи лічби з основами 5, 10 і 20 здогадно грунтується на особливостях будови людських кінцівок (кількість пальців на руках і ногах).Писемні системи числення (або нумерації! поділяються на два основні типи: адитивна нумерація, коли число утворюється додаванням цифр, що стоять поряд (наприклад, давня єгипетська ієрогліфічна нумерація та римська система цифр); позиційна нумерація, в якій значення цифри визначається місцем, яке нона займає. Наприклад, число 1034 відображає одну (тисячу) плюс нуль (сотні) плюс три (десятки) плюс чотири (одиниці). Ця система, що потребує використання нуля, історично сформувалася лише в чотирьох цивілізаціях — у Месопотамії, Китаї, Давній Індії і в культурі майя Центральної Америки (99|.
Хоча письмо вперше, як припускають, з'явилося в Шумері, формуючись протягом IV тис. до н. е., афавітні шрифти, цілком імовірно, було винайдено в середині II тис. до н е. Найвідомішим і найпоширенішим був. як зазначалося, алфавіт, що розвинувся завдяки торгівлі та мореплавству фінікійців, які говорили семітською мовою. Цей алфавіт запозичили або адаптували інші мови цієї мовної Сім’ї (давньоєврейська, арамейська, згодом арабська), а також мови інших сімей. Фінікійський алфавіт· розшифровував тільки приголосні, яких було 22. Греки з часом додали до нього голосні, а від грецького алфавіту безпосередньо пішов латинський, зберігаючи при цьому незмінним порядок фінікійського [99).
Розвиток алфавітів сприяв і розвитку систем числення. В основі таких алфавітних адитивних нумерацій лежав простий принцип: користувач повинен був знати порядок і числове значення літер алфавіту.
Перші дев'ять літер відповідали дев'ятії цифрам (1, 2, 3 9), наступні дев'ять — дев’яти десяткам (10, 20,ЗО,.... 90). Решта літер використовувалася для позначення сотень. Таким чином, алфавітні числа записувалися у спадному порядку числових значень літер, з яких вони складаються, згідно зі шрифтом ірис. 29).
Оскільки алфавіт мав невелику кількість різних знаків (22 — у давньоєврейському. 28 — в арабському і 27 — у грецькому), то спочатку з його допомогою можна було записати лише числа до 10000. Тому вчені давнини (насамперед астрономи) змушені були запозичити досконалішу «шістдесятхову» вавилонську позиційну систему числення, пристосувавши її до свого алфавіту. Для такої нумерації потрібно було 59 різних символів, а також знак для позначення нуля. Ці кшістдесяткові цифри» часто виражалися в алфавітній нумерації, поєднуючи перевалі позиційної та алфавітної систем числення. Поступово десяткова пози ційна система числення, яка виникла в Давній Індії, витіснила інші писемні системи.лічби і нині є загальновживаною (99]
Писемна система числення в давньомесопотамському світі мала дві характерні особливості. По-перше, шумери скористались унікальною системою, в основі якої було число 60. По-друге, вони відрізнялися від інших відомих давніх народів тим, що використовували позиційну систему числення, як це робимо ми тепер, щоб виразити числа на письмі. Шумерська «шістдесяткова* позиційна система, що грунтується на числі 60, містить 59 однозначних чисел (замісгь нуля ставили пробіл). Це система, якою ми користуємося нині для визначення часу (одна хвилина дорівнює 60 секунд, одна година — 60 хвилин) (87].
Шумерська
система числення
Рис. ^9. Системи мислення [36; 87; 99; 101]- А — система майя для написання чисел від 1 до 13 за допомогою крапок і рисог. £ — китайська система (а — давне священно письмо на ветках; б — сучасне китайсько письмо); б — алфавітна числова система («■» - число 1993 у давньогрецькій нумерації; б — число 5754 у давнілсвройській нумерації); Г — еволюція індо-арабських цифр
В Індії математика не завжди була пов'язана з МЗТЄМаТИЧНЗ СИСТЄМЗ ІНДІЇ письмом. Найдавніша відома писемна пам'ятка — ■
датується ! - II тис.
до н. е. Проте Індія вже задовго до того мала передову цивілізацію. Знання передавалися переважно в усній формі. Цю давню мудрість, що зберігалась у людській пам'яті, було передано у «Ведах», де, між іншим, є відомості і про математичні знання. «Веди» написано, як вже згадувалося, санскритом, який, як і всі інші індоєвропейські мови, мав числівники, що означали десятки, і окремі назви для дев'яти одиниць. а також дія десяти, ста, тисячі й вищих ступенів від десяти [101].Нині не існує документального свідчення про те. як і коли було винайдено в Індії десяткову позиційну систему, для якої потрібно лише 10 знаків (цифри від І до 9 і 0). Достеменно відомо, що наприкінці VII ст. н. е. позиційна система і нуль широко використовувалися не лише в Індії, а й у тих країнах, яких сягала індійська цивілізація |101]. Своїм знанням про основи індійської арифметики ми завдячуємо арабським ученим VIII ст., праці яких сприяли поширенню десяткової індійської системи (звідси неточна назва «арабські цифри», правильно — індо-арабські) [99|.
Довнїй Китай, на думку китайських істориків КИТЗЙСЬКЗ СИСТЄМЗ ЧИСЛЄННЯ культури, самостійно винайшов десяткову по- — ■
зицшну систему значно раніше і незалежно від індійської, але в ній не використовувався куль. Нуль у китайській системі умовних позначень, імовірно, запозичений з індійської системи лічби. Давність китайських систем числення підтверджується археологічними знахідками, що датуються V тис. до н. е. (посуд культури Яньшао, на якому виявлено спеціально нанесені знаки і символи.
Окремі з них мають вигляд вертикальних ліній, інші мають форму літери 7.. Вважається, що ці вертикальні лінії («палички») і були первісними формами лічби в Давньому Китаї) |3б|.
Давні майя теж могли написати за допомогою ЦифрОВІ СИСТЕМИ МдЙЯ ієрогліфів необхідні числа і дати. Збереглося — — ■ ■ ■
чотири кодекси майя, написані ієрогліфами; вони розміщуються нині в бібліотеках Парижа. Дрездена. Мадрида і Мехіко. Нагадаємо, що традиційний календар майя був 260-денним (що відповідає періоду вагітності жінки) і мав 13 місяців по 20 днів у кожному (в основі числової системи майя було число 20).
Подальша заміна 260-денного календаря 365-денним (запозичений від ольмеків; за основу взято сонячний рік) викликала запровадження циклу тривалістю 52 роки. Цей великий цикл з 18980 днів — 52 сонячні роки по 365 днів або 73 роки за традиційним календарем (або «календарем чаклунів») по 260 днів — відомий як «календарне коло», був найбільшою одиницею дія вимірювання часу, якою користувалися мезоамериканські народи в доколумбову епоху. Астрономи майя, користуючись складними цифровими системами і виконуючи різноманітні розрахунки (таблиці в поєднанні з ієрогліфічним письмом), могли виконувати складні операції з числами. що досягали мільйонів. Свої зусилля вони спочатку концентрували на вивченні Сонця і Місяця, які відігравали велику роль у складанні календарів. Астрологи майя обчислили також синодичні періоди Венери, Марса і Юпітера. Окрім того, в деяких таблицях Дрезденського кодексу майя наведено поправочні коефіцієнти цих величин, що можна простежити лише протягом десятиліть і навіть століть (8б|.Отже, поява мови, писемності, чисел свідчила про зародження культури ще в глибоку давнину в багатьох народів світу і про наявність знань, обсяг і зміст яких вражає сучасну уяву. При цьому не можна не помітити нерівномірності культурного розвитку різних.людських спільностей: водночас з первісними племенами виникають великі цивілізації, надбанням яких користується й сучасне людство. Такі цивілізації постають перед нами змужнілими етносами і залишають сцену історії мудрими народами, тоді як дитинство та юність, що привели їх до вершин людського знання, залишаються для нас невідомими. Щоб зрозуміти механізм появи різних людських рас і етносів, з яких ці раси складаються, у наступному розділі розглянемо сучасні проблеми расо- та етно- утворення.